প্রথমেই বলে রাখি অসীম, অসঙ্গায়িত ও অনির্ণেয় এই তিনটা জিনিস এক না। আবার এদের একটার সাথে আর একটার সম্পর্কও আছে বটে। ফলে আমরা বেশীর ভাগ সময়ই এই ৩টা জিনিসকে গুলিয়ে ফেলি!

যারা গুলিয়ে ফেলেন বা কিছুটা জানেন বা যারা গণিতকে ভালবাসেন, গণিত বুঝেন এবং গণিত নিয়ে চিন্তাশীল তাদের সবাইকে উদ্দেশ্য করে আমার ক্ষুদ্র জ্ঞানে আজকের এই সামান্য উপস্থাপনা…

শুরুতেই একটা প্রশ্ন দিয়ে উত্তরটা বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করি।
প্রশ্নটা হল- ১ কে ০ দিয়ে ভাগ করা হলে কত হয়?
প্রথমত, আমরা যারা একটু কম জানি তারা উত্তর দিব ০ হয়। আবার যারা একটু জানি তাদের বললে বলবে এটা কোনো ব্যাপার হল উত্তর “অসীম”। তাদের থেকে যারা মোটামুটি এক্কেবারে ভাল জানি তারা কেউ বলবে অসঙ্গায়িত আবার কেউ বলবে অনির্ণেয়। আবার কেউ এটাও বলবে অসঙ্গায়িত এবং অনির্ণেয় দুটোই! লেও ঠেলা! আসলে সঠিক কোনটা?

২য় প্রশ্নঃ তাহলে ০ কে ০ দিয়ে ভাগ করলে কত হয়?
প্রায় সবাই উত্তর দিবে কেন আগেরটার মতই।

আর একশ্রেণির অসাধারণ চিন্তাশীল জনতা উত্তর দেবে ১০০% সঠিক উত্তর হবে ১ (এক)! এদের অসাধারণ চিন্তাশীল জনতা বলার কারণ আমি এই ধরনের জনতার ভুক্তভোগী! ফেসবুক গ্রুপে এরকম এক প্রশ্নের উত্তরে এক অসাধারণ চিন্তাশীল জনতা কমেন্টে আমাকে যা লিখেছিলেন আজ তা হুবহু কপি দিলাম…
Md. Tomejul Islam Khan Aponar hoy to gonit somporka kono gan e nai. 1/1=1, 2/2=1, hola 0/0=1 hoba sata ke janan soman soman rase & soman soman sonkhar debaided alltime 1 hoy।
এবার ভেবে দেখেন কথা দিয়ে কত বড় হামলা চালিয়েছিল আমার উপর এই অসাধারণ চিন্তাশীল জনতা!

এসব থাক এবার মূল আলোচলায় আসি…
প্রথমে কথা বলি অসীম নিয়ে। এটা সবাই জানি যার কোনো সীমা নাই তাই অসীম। সীমা নাই বলতে কোন দিকে সীমা নাই, ডানে না বামে? আসলে দুই দিকেই এর কোনো সীমা নাই। আমরা যদি বাস্তব সংখ্যারেখা কল্পনা করি এর ডানপাশে কি আছে? আমরা জানি না। আসলে সব ধনাত্মক সংখ্যায় আছে আর কত পর্যন্ত আছে? তাও জানি না কারণ সংখ্যার কোনো শেষ নেই। আমৃত্যু গুনতে থাকলেও সংখ্যা শেষ হবে না!

আর তাই ডানপাশে আছে ধনাত্নক অসীম আর বামপাশে আছে ঋনাত্নক অসীম। তাহলে অসীম ধনাত্নক ঋনাত্নক দুই দিকেই আছে। এখন আমরা যেকোনো একটা সংখ্যা ধরে নেই। ধরি সংখ্যাটা ৩। আপনি যেকোনটাই ধরে নিতে পারেন। এখন এই সংখ্যাকে ধীরে ধীরে ০ এর কাছাকাছি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করি। যেমন :
৩/৩=১
৩/২=১.৫
৩/১=৩
৩/.৫=৬
৩/.১=৩০
৩/.০১=৩০০
৩/.০০১=৩০০০ (আমার উদ্দেশ্য হচ্ছে (৩,২,১,.৫,.১,.০০১,.০০০০০০১…….০) এভাবে ধীরে ধীরে ০ দিয়ে ভাগ দিলে কত আসে তা দেখা। কারণ আমরা সেটাই খুঁজছি, একটা সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ দিলে কত হয় তা দেখা।)
৩/.০০০০০০০০০১=৩০০০০০০০০০০
একটা জিনিস খেয়াল করে দেখেন আপনি যতই ০ এর কাছাকাছি কোনো সংখ্যা দিয়ে কোনো কিছুকে (৩) ভাগ করতে যাচ্ছেন, ততই আপনার ভাগফল এর মান বড় হচ্ছে। এভাবে আপনি যতই ০ এর কাছাকাছি কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে যাবেন মান ততই অসীমের দিকে যেতে থাকবে। তাহলে যদি (০) দিয়ে ভাগ দেই অর্থাৎ উত্তরঃ ৩/০= অসীম? আসলে উত্তর এটাই তবে গণিতে নয়! অন্য কিছু ক্ষেত্রে তা পরে বলছি! গণিতে কেন নয় তার কারণ হল আপনি শুধু বাস্তব সংখ্যা রেখার ধনাত্নক মানের দিক থেকে ০ এর কাছাকাছি যাওয়ার চেষ্টা করছে। এবার একই ভাবে বাস্তব সংখ্যারেখার ঋনাত্নক দিক থেকে ৩ কে ক্রমশ ০ এর কাছাকাছি ঋনাত্নক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে থাকেন দেখবেন ভাগফল আসবে ঋনাত্নক অসীম।

একই ভাগ ৩/০ কে নিয়ে দুইটা কনফিউশন তৈরি হয়ে গেল! এখন আপনাকে কেউ যদি বলে ৩/০ এর মান সংখ্যা রেখায় দেখান তখন আপনি কোন দিকে ধনাত্নক না ঋনাত্নক দিকে দেখাবেন?

ধনাত্নক দিকে নাকি ঋনাত্নক দিকে? নাকি দুই দিকেই একসাথে দেখাবেন? যদি কথাগুলো বুঝে থাকেন তাহলে কি এখন মাথা ঘুরছে তাই না?

হুম ঘুড়বেই! কারণ এর কোনা নিদৃষ্ট মান নেই! গণিতে এর কোনো সমাধান নেই। এখন পর্যন্ত গণিতে কোনো কিছুকে তখনই সুন্দরভাবে একটি নির্দিষ্ট সংজ্ঞা দেয়া যায়, যখন তা নিয়ে কোনো দ্বিধাদ্বন্দ্ব বা কনফিউশন থাকে না!

তাই এখানে ৩/০ অথবা (কোন সংখ্যা/ ০) = অসঙ্গায়িত (undefined) অসীম নয়। তবে কিছুক্ষণ আগেই বলছিলাম এটা অসীমও হয়। কোন ক্ষেত্রে? একটা জিনিস অন্তত বুঝতে পারছেন যে ০ দিয়ে ভাগের দুইদিকেই মান আছে। অর্থাৎ এই ভাগের দুইটা সীমান্তিক মান আছে। আর সেগুলা হল- একটা ধনাত্নক অসীম আর একটা হল ঋনাত্নক অসীম।

যেমন – পদার্থবিজ্ঞানে আমরা ভর, দূরত্ব ইত্যাদি ধনাত্নক জিনিস নিয়ে কাজ করি আবার যেমন উচ্চতা এসব জিনিস কখনো নেগেটিভ হয় না এরা সব সময় ধনাত্নক হয়। এসব ক্ষেত্রে সাধারণত ধনাত্নক সীমান্তিক মান নিয়ে কাজ করে থাকি। তাই এসব ক্ষেত্রে ০ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর অসীম হয় অসঙ্গায়িত নয়।

এতক্ষণ তো কোনো কিছুকে ০ দিয়ে ভাগ করলে কি হয় দেখলাম। এবার দেখি এই ০ কেই ০ দিয়ে (০/০) ভাগ করলে কি হয়?

কেউ বলবে যদি x/y=0 হয় তাহলে আড়াআড়ি গুণ করলে x=0 হয়। তেমনি ০/০= ০ হবে। এটা একবারেই গণিতে কাচা মাথার লোক বলবে কারণ ০/০ এর ওইপাশে কি হবে তা উনি আগেই ০ ধরে নিয়েছেন।

আবার কেউ এবার পুরাই লজিক নিয়ে এসে বলবে আমরা জানি ১৫/৩ =৫, তেমনি ১২/৩= ৪, এখানে কি কোনো সন্দেহ আছে? পরিবেশটা সুন্দর না কোনো হইচই নাই!

নাই! অর্থাৎ এখান থেকে উনি বুঝাতে চাচ্ছেন ৩ কে কত গুন করলে ১৫ হয়? উত্তর :৫ ; তাহলে ৫-ই তার ভাগফল।

আবার ৩ কে কত গুন করলে ১২ হয়? উত্তর-৪। তেমনি ০/০ খুবই সহজ ০ কে কত গুন করলে ০ হয়?? উত্তর ০!

হা হ হা, লজিকালি হাস্যকর! কারণ ০ কে ১ গুন করলেও ০ হয়। আবার ২,৩, ৪…যা দিয়েই গুন করব তা দিয়েই ০ হয়। তাহলে উত্তর কোনটা? সবগুলো? না সবগুলো না!

আবার আরেক জনৈক অসাধারণ চিন্তাশীল জনতার লজিকের কথা তো অনেক আগেই বলেছিলাম। সেই লজিক আর লিখতেছি না। কারণ এমনি অনেক বড় লিখেছি- তার চেহেরা দেখেই অনেকে পড়বে না নিশ্চিত!

আসলে সত্য কথা বলতে কি, এটার সঠিক মান কত হবে আমি নিজেও জানি না! তাহলে কে জানে তাও জানি না। অর্থাৎ এটার সঠিক মান এখন পর্যন্ত কোনো গণিতবিদ নির্ণয় করতে পারেননি। যা নির্ণয় করা যায় না এক কথায় তাকে বলে অনির্ণয়। অর্থাৎ ০/০ = অনির্ণেয় (Indeterminate)।

তাহলে আর একটা প্রশ্ন হলো ০/০ কি অসঙ্গায়িত নয়? অবশ্যই অসঙ্গায়িত এবং অনির্ণেয়।
যার কোনো সঠিক মান পাই না তা সঙ্গায়িত করব কিভাবে! অসঙ্গায়িত এর একটা বিশেষ রুপ অনির্ণেয়।

অবশ্যই আমরা বলতে পারি সকল অনির্ণেয়ই অসঙ্গায়িত। কিন্তু সকল অসঙ্গায়িত অনির্ণেয় নয়। এই রুপ নিয়েও কিছু একটা লিখব একদিন।

আজকে আমাদের ফেসবুক গ্রুপে এই নিয়ে দুজনের যুক্তি-তর্ক শুরু হয়েছিল তাই তাদের কনফিউশন দূর করার জন্য অনেক দ্রুত লেখলাম।

ভুল করলে ধরিয়ে দিবেন অনেক উপকৃত হবো ,আমি সব সময় শিখতে রাজি আছি…
ধন্যবাদ সবাইকে।

লেখক : পরিচালক ও শিক্ষক, জব গণিত প্রাইভেট প্রোগ্রাম, সিরাজগঞ্জ
এবং
সাবেক শিক্ষার্থী, পরিসংখ্যান বিভাগ, রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়।

স্বপ্নচাষ/আরএস